Konstanta Kepler-Bouwkamp: Konstanta yang Membatasi Poligon

Coba kamu buat sebuah lingkaran berjari-jari sebesar satu satuan. Di dalam lingkarannya, gambarkan sebuah segitiga sama sisi sehingga titik sudut segitiga menyentuh lingkarannya. Lalu di dalam segitiganya, kamu buat lagi lingkaran yang menyinggung setiap sisi segitiga itu. Gambar yang didapatkan akan seperti ini:

Johannes Kepler menemukan fakta bahwa perbandingan dari panjang jari-jari lingkaran kecil dan jari-jari lingkaran besar di sana sebesar $\cos(\frac{\pi}{3})$ . Kalau seandainya segitiga di sana diganti dengan poligon lain, misalnya segiempat seperti ini:

Maka perbandingan panjang jari-jarinya menjadi sebesar $\cos (\frac{\pi}{4})$ . Kalau kita ganti lagi segiempat di sana dengan poligon lain yang punya sisi sebanyak $N$ , maka perbandingan panjang jari-jarinya dirumuskan sebagai $\cos (\frac{\pi}{N})$ .

Namun, bagaimana kalau kasusnya begini: di dalam lingkaran memuat poligon, misalnya segisepuluh. Lalu di dalam segisepuluh itu memuat lingkaran yang memuat poligon segisembilan. Di dalam poligon segisembilan memuat lingkaran yang memuat segidelapan, dan seterusnya sampai didapat segitiga memuat lingkaran. Lalu, berapa perbandingan panjang jari-jari lingkaran terkecil dengan panjang jari-jari lingkaran terbesarnya?

Kepler dan Christoffel Bouwkamp menemukan fakta menarik bahwa panjang jari-jari lingkaran besar (R) adalah

$R= [\cos (\frac{\pi}{3})\times \cos (\frac{\pi}{4})\times \cos (\frac{\pi}{5})\times\cdots\times \cos (\frac{\pi}{10})]^{-1}$ .

Secara umum, jika lingkaran terbesar membatasi poligon segi- $N$ , maka

$R= [\cos (\frac{\pi}{3})\times \cos (\frac{\pi}{4})\times \cos (\frac{\pi}{5})\times\cdots\times \cos (\frac{\pi}{N})]^{-1}$ .

Sedangkan untuk panjang jari-jari lingkaran terkecilnya memiliki bentuk umum

$r = \cos (\frac{\pi}{3})\times \cos (\frac{\pi}{4})\times \cos (\frac{\pi}{5})\times\cdots\times \cos (\frac{\pi}{N})$ .

Yup, kamu bisa lihat kalau $R$ dan $r$ di sana bakalan saling invers satu sama lain! Sekarang misalkan panjang jari-jari lingkaran terbesarnya adalah $R$ , dan panjang jari-jari lingkaran terkecil (lingkaran ke- $n$ ) adalah sebesar $r_{n}$ . Maka

$\rho = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{r_{n}}{R} = 0,1149420448\cdots$

disebut sebagai konstanta Kepler-Bouwkamp. Nilai $\rho$ di sana bisa juga dituliskan sebagai produk takhingga

$\rho = \Pi_{k=3}^{\infty} \cos(\frac{\pi}{k})$ .

Pertanyaan menariknya: bagaimana kalau poligon-poligon yang dibatasi oleh lingkaran itu memiliki sisi sebanyak $n$ , dengan $n$ merupakan bilangan prima? Atau dengan kata lain, berapa nilai dari produk takhingga

$\rho = \Pi_{p\geq 3}^{\infty} \cos(\frac{\pi}{p})$

jika $p$ merupakan bilangan prima? ( $p=2,3,5,7,\cdots$ ). Barangkali kamu tertarik untuk menjawabnya atau membahas masalah ini ke dalam sebuah paper, saya tunggu hasilnya di sini yaa 😛