Matematika di Balik Vaksinasi COVID-19

Tanggal 28 Juni 2021 kemarin, saya menjadi pemateri di Teacher Mastermind untuk tim matematika, suatu kegiatan yang diadakan setiap dua minggu sekali untuk berbagi pengetahuan matematika bersama Pahamify Crew. Topik yang saya dikusikan saat itu mengenai Matematika di Balik Vaksinasi COVID-19. Ada beberapa masalah yang saya angkat di sana:

Secara matematis, bagaimana cara agar pandemi COVID-19 berakhir?
Bagaimana vaksinasi bekerja?
Bagaimana perhitungan kekebalan kelompok (herd immunity) untuk COVID-19?
Apa arti dari efikasi suatu vaksin?

Saya coba bagikan di sini apa yang sudah kami diskusikan, ya!

Bagaimana Cara Agar Pandemi COVID-19 Berakhir?

Jika kita ingin mengetahui cara untuk menangani sesuatu, kita harus tahu dulu bagaimanana sesuatu itu bekerja. Jadi, sebelum mencari tahu bagaimana cara mengakhiri suatu pandemi, kita harus tahu dulu, gimana sih suatu virus itu menyebar? Mirip seperti menyebarnya sebuah gosip. Bayangkan saja teman-teman memiliki sebuah rahasia yang diberitahukan ke seorang teman, “Eh, sebenarnya SVG@#$^&A, lho! Jangan bilang-bilang ya!”. Besoknya, temanmu ternyata memberitahukan lagi gosip itu ke satu orang temannya. Besoknya lagi, teman dari temanmu memberitahukan lagi gosip itu ke satu orang temannya. Jika setiap harinya hal ini konsisten dilakukan, maka dalam satu bulan, berapa banyak orang yang akan tahu rahasia itu?

Masalah ini seperti menghitung jumlah 30 suku pertama deret aritmetika dengan suku awal 1 dan beda 1. Jadi, pada hari ke-30 akan ada 30 orang yang tahu rahasia itu! (Menjadi 31 orang jika kamu termasuk/dihitung juga).

Sekarang coba bayangkan kalau temanmu di awal memberitahukan rahasia itu kepada dua orang. Besoknya, masing-masing dari dua orang itu memberitahukannya ke dua orang teman mereka lagi. Hal ini pun berlanjut terus setiap harinya. Pertanyaanya, dalam sebulan, akan ada berapa banyak orang yang tahu rahasia itu?

Penghitungannya seperti mencari jumlah 30 suku pertama deret geometri dengan suku awal 1 dan rasio 2.

Jangan terkejut karena JAWABANNYA ADA SEBANYAK $2^{30}-1$ ORANG! (Menjadi $2^{30}$ orang jika kamu juga dihitung). Jumlahnya itu lebih banyak daripada seperempat populasi manusia di Bumi saat ini! Kita bisa lihat kalau perbedaan yang kecil (dari menyebarkannya ke satu orang menjadi ke dua orang tiap harinya) memberikan dampak yang SAAANGAAT BESAR!

Banyaknya orang baru yang tahu gosip itu kita sebut sebagai angka reproduksi gosipnya. Jika analogi gosip itu kita ganti menjadi virus, maka banyaknya orang yang terinfeksi dari satu orang ke yang lainnya tanpa adanya intervensi disebut sebagai angka reproduksi dasar, disimbolkan $R_{0}$ . Angka reproduksi ini yang akan menentukan suatu penyakit termasuk endemik, epidemi, atau pandemi.

Lalu berapa angka reproduksi dasar dari virus corona?

Gambar di bawah ini menunjukkan angka reproduksi dasar dari beberapa penyakit:

Angka reproduksi dasar untuk penyakit COVID-19 sekitar 2 sampai 3. Apa artinya? Jika ada orang yang terinfeksi dan berinteraksi dengan sekelompok orang tanpa adanya intervensi (semisal tidak pakai masker dan tidak ada pembatasan sosial), maka orang tersebut rata-rata akan menularkan penyakitnya ke dua sampai tiga orang. Bayangkan penyebaran gosip tadi sehingga setiap orang memberitahukan gosipnya ke dua orang lagi setiap harinya. Penyebaran penyakitnya (tanpa intervensi) mirip seperti itu.

Jadi, bagaimana cara agar pandemi COVID-19 Berakhir?

Caranya ya buat saja angka reproduksinya menjadi lebih kecil lagi! That’s all. Lebih tepatnya, kita harus membuat angka reproduksinya menjadi kurang dari atau sama dengan satu. Jika $R_{0}=1$ , maka penyebarannya tidak jauh berbeda dengan penyebaran gosip di awal. Jika $R_{0}=\frac{1}{2}$ , maka kalau kita misalkan ada delapan orang yang terinfeksi, mereka akan menginfeksi $8\times\frac{1}{2}=4$ orang. Empat orang itu lalu akan menginfeksi $4\times\frac{1}{2}=2$ orang. Dua orang itu lalu menginfeksi $2\times\frac{1}{2}=1$ orang. Penyebarannya semakin konvergen. Berbeda jika $R_{0}>1$ yang akan semakin divergen.

Bagaimana caranya membuat angka reproduksi kurang dari atau sama dengan nol?

Pakai masker, jaga jarak, cuci tangan, dan VAKSINASI. Yup, apa yang akan saya tekankan di sini adalah bagaimana vaksinasi itu bisa membuat angka reproduksi suatu penyakit menurun. Mari kita lihat bagaimana vaksin bekerja, namun dengan asumsi bahwa vaksin itu memberikan kekebelan seutuhnya (dipastikan orang yang divaksin tidak akan terjangkit penyakit).

Misalkan terdapat sebelas orang dan satu di antaranya terinfeksi COVID-19. Misalkan angka reproduksi dasar untuk COVID-19 adalah 2, maka satu orang itu rata-rata akan menularkan ke dua orang di sekitarnya.

Rata-rata yang tertular sebanyak $\frac{2}{10}=0,2=20\%$ dari sekelompok orang itu. Jika lima dari mereka sudah divaksin, maka orang yang terinfeksi akan menyebarkan penyakitnya ke $0,2\times 5=1$ orang saja.

(Sumber gambar: quantamagazine.com)

Artinya, angka reproduksinya sekarang menjadi satu! Jika sebanyak $x$ dari 10 orang tersebut divaksin, maka orang yang akan terinfeksi sebanyak $0,2\times (n-x)$ .

Semakin besar nilai $x$ , semakin kecil atau sedikit orang yang akan terinfeksi. Artinya, semakin banyak orang yang divaksin, angka reproduksinya akan menjadi semakin kecil lagi, ya kan?

Lalu, Berapa Banyak Orang yang Harus Divaksin?

Misalkan setiap orang yang terinfeksi COVID-19 berinteraksi dengan $n$ orang, maka dengan analogi yang serupa seperti sebelumnya,

Setiap orang rata-rata akan menginfeksi $\frac{R_0}{n}$ dari $n$ orang yang ada.

Jika sebanyak $x$ dari $n$ orang itu divaksin, maka orang yang akan terinfeksi baru sebesar $\frac{R_0}{n}(n-x)$ .
Kita menginginkan orang yang terinfeksi barunya itu hanya sejumlah satu orang, jadi, haruslah

$\frac{R_0}{n}(n-x)=1$ .

Sekarang lakukan operasi aljabar sederhana pada persamaan itu,

$\frac{R_0}{n}n- \frac{R_0}{n}x=1$

$- \frac{R_0}{n}x=1-R_{0}$

$\frac{x}{n}=1-\frac{1}{R_0}$ .

Dari baris terakhir, bentuk $\frac{x}{n}$ itu menandakan rata-rata orang yang harus divaksin supaya persamaan $\frac{R_0}{n}(n-x)=1$ berlaku. Alias, supaya angka reproduksinya menjadi satu. Nilainya itu haruslah $1-\frac{1}{R_0}$ . Nah, $(1-\frac{1}{R_0})\%$ dari seluruh populasi atau kelompok tertentu inilah yang akan menghasilkan kekebalan kelompok, alias herd immunity. Persentase vaksinasi yang diperlukan suatu kelompok agar tercipta herd immunity disebut herd immunity thresold (HIT).

Berdasarkan data angka reproduksi dasar dari beberapa penyakit sebelumnya, maka dapat disimpulkan:

Jadi, agar tercipta kekebalan kelompok, haruslah $60\%$ dari total populasi manusia saat ini divaksin. Tapi ini dengan asumsi jika vaksin tersebut memberikan KEKEBALAN SEUTUHNYA. Nyatanya, vaksin yang ada saat ini tidak dapat bekerja demikian. Jadi, banyaknya populasi manusia yang divaksin haruslah lebih dari (atau sama dengan) $60\%$ dari total populasi saat ini. Banyak juga, ya? Maka dari itu, yuk kita sukseskan program vaksinasi ini agar pandemi COVID-19 lekas berakhir!

Kesimpulan …

Dari sini kita menyimpulkan beberapa hal:

Pandemi COVID-19 akan usai jika kita berhasil menekan angka reproduksinya menjadi ≤ 1.
Vaksinasi adalah salah satu cara menekan angka reproduksi.
Vaksinasi memberikan kekebalan kelompok (herd immunity).
Vaksin yang memberikan kekebalan seutuhnya membutuhkan 60% jumlah
populasi untuk terciptanya kekebalan kelompok.

Jangan lupa juga untuk memakai masker, jaga jarak, tidak berkerumun, dan kuatkan imun!

(Terkait materi efikasi vaksin akan saya bahas di postingan lain saja, ya!)

Salam,

Arini.

Referensi

Paul L. Delamater , Erica J. Street, Timothy F. Leslie, Y. Tony Yang, dan Kathryn H. Jacobsen. 2019. Complexity of the basic reproduction number (R₀). Emerging Infectious Diesease, Vol. 25.

Md. Arif Billah, Md. Mamun Miah, dan Md. Nuruzzaman Khan. 2020. Reproductive number of coronavirus: A systematic review and meta-analysis based on global level evidence. Plos One.

Quanta Magazine. 2020. “The Tricky Math of Herd Immunity of COVID-19”, https://www.quantamagazine.org/the-tricky-math-of-covid-19-herd-immunity-20200630/, diakses 19 Juni 2021.